技术干货 | 理解零知识证明算法之Bulletproofs：Range Proof I

前言

Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proof size。根据论文，它有两个方面的应用：1. 用于range proof；2. 用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。

Range proof

1. 预备知识

a_L：表示向量{a₁,a₂……a_n}

2ⁿ：表示向量{2⁰,2¹…2^n-1}

<a, b>：表示向量内积 ∑ a_i*b_i，结果是一个值

a o b：向量对应位相乘，{a₁*b₁……a_n*b_n}，结果是一个向量

2. 证明

Alice想要证明 v ⸦ [0, 2ⁿ-1]

=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：

{（g、h ⸦ G，V，n；v，r ⸦ Z_p）：V = g^rh^v ^ v ⸦ [0, 2ⁿ-1] }

public-x           witness-w relation-R

即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。

令 a_L为金额v的在范围[0, 2ⁿ-1]内的二进制形式，则a_L = {a₁,a₂……a_n}⸦{0,1}ⁿ，且满足<a_L, 2ⁿ> = v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：

V = g^rh^v     (1)

<a_L, 2ⁿ> = v    (2)

a_L o a_R = 0ⁿ   (3)

a_R = a_L - 1ⁿ    (4)

等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了a _L 元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。

3. 2n+1个约束转换成1个约束

 

=>预备：从Z_p中任意选择一个数y，则b = 0ⁿ是等式<b, yⁿ> = 0成立的充分条件；因为当b != 0ⁿ，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。（理解：如果b != 0ⁿ ，把等式看作求n阶一次多项式的零点即可）因此，如果有<b, yⁿ> = 0，那么验证者愿意相信b != 0ⁿ 。

利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：

1. 验证者随机选取一个数y发送给证明者；

2. 证明者要证明：

<a_L, 2ⁿ> = v (5)

<a_L , a_R o yⁿ> = 0        (6)

<a_L - 1ⁿ- a_R, yⁿ> = 0    (7)

同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a _L 元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：

1. 验证者随机选取一个数z发送给证明者：

2. 证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：

z² * <a_L, 2ⁿ> + z * <a_L - 1ⁿ- a_R, yⁿ> + <a_L , a_R o yⁿ> = z² * v    (8)

至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积

4. 三个点积优化成1个点积

 

=> z² * <a_L, 2ⁿ> + z *  <a_L - 1ⁿ- a_R, yⁿ> + <a_L , a_R o yⁿ> = z² * v

=> <a_L, z² * 2ⁿ> + <a_L, z * yⁿ> - <z * 1ⁿ, yⁿ> - <z * a_R, yⁿ> + <a_L , a_R o yⁿ> = z² * v

=> <a_L , a_R o yⁿ + z * yⁿ + z² * 2ⁿ> - <z * 1ⁿ , yⁿ> + <z * 1ⁿ, yⁿ o a_R> = z² * v

=> <a_L , a_R o yⁿ + z * 1ⁿ o yⁿ + z² * 2ⁿ> - <z * 1ⁿ, yⁿ + yⁿ o a_R> = z² * v

=> <a_L , (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ> -  <z * 1ⁿ, yⁿ + yⁿ o a_R> = z² * v

=> <a_L , (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ> -  <z * 1ⁿ, (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ -z * 1ⁿ * yⁿ + yⁿ - z²*2ⁿ>  =  z² * v

=>  <a_L - z * 1ⁿ, (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ> - <z * 1ⁿ , -z * 1ⁿ * yⁿ + yⁿ - z²*2ⁿ> =  z² * v

=>  <a_L - z * 1ⁿ, (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ> = z² * v + <z * 1ⁿ , -z * 1ⁿ * yⁿ + yⁿ - z²*2ⁿ>

=>  <a_L - z * 1ⁿ, (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ> = z² * v + <z * 1ⁿ , (-z * 1ⁿ + 1ⁿ) * yⁿ > - <z * 1ⁿ ,  z²*2ⁿ>

=>  <a_L - z * 1ⁿ, (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ> = z² * v + (z – z²) * <1ⁿ, yⁿ> - z³ * <1ⁿ, 2ⁿ>    (9)

 

=>  令

L =  a_L - z * 1ⁿ

R =  (a_R + z * 1ⁿ) o yⁿ + z² * 2ⁿ

δ =  (z – z²) * <1ⁿ, yⁿ> - z³ * <1ⁿ, 2ⁿ>

5. 验证：

1. 证明者把L/R/V发送给验证者；

2. 验证者事先算好 δ

3. 验证者根据L算出来a_L，根据<a_L, 2ⁿ> = v算出v

4. 验证者根据L,R,v,δ验证等式<L, R> = z² * v +δ

因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v ⸦ [0, 2ⁿ-1]。

但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。

6.  一个零知识证明协议

由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s _{L 、}s _R来隐藏a _L，a _R。如公式(10)(11)所示：

l(X) = (a_L - z * 1ⁿ) + s_L * X )   (10)

r(X) = (a_R + z * 1ⁿ + s_R * X) o yⁿ + z² * 2ⁿ    (11)

此时，定义公式(12)

t(X) = <l(X), r(X)> = t₀ + t₁*X + t₂ * X²    (12)

可以看出系数t ₀是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：

t₀ = <L, R> = z²*v + δ

因此，问题由证明：

<L, R> = z²*v + δ

转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x), r(x), t(x)满足关系：

<l(x), r(x)> = t(x)

多项式值l(x), r(x), t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x) well-formed，即：

l(x) = (a_L - z * 1ⁿ) + s_L * x )

r(x) = (a_R + z * 1ⁿ + s_R * x) o yⁿ + z² * 2ⁿ

需要校验：

P = A * S^x * g^(-z) *(h`)^{z*yn+z^2*2^n}

= h^αg^aLh^aR * (h^ρg^sLh^sR)^x * g^(-z) * (h`)^{z*y^n+z^2*2^n}

= h^αg^aLh^aR *  h^ρxg^sL*xh^sR*x * g^(-z) * (h`)^{z*y^n+z^2*2^n}

= h^α+ρx * g^{aL+ sL * x – z * 1^n} * h^{aR + sR * x} * (h`)^{z*y^n+z^2*2^n}

= h^α+ρx * g^{aL+ sL * x – z * 1^n} * (h`)<sup>y^n o (aR + sR * x)</sup> * (h`)^{z*y^n+z^2*2^n}

= h^α+ρx * g^{aL+ sL * x – z * 1^n} * (h`)^{y^n o (aR + sR * x) + z*y^n+z^2*2^n}

= h^α+ρx * g^{aL+ sL * x – z * 1^n} * (h`)^{y^n o (aR + sR * x + z * 1^n) + z^2*2^n}

=? h^μg^l(h`)^r

=> 当且仅当l/r well-formed，等式成立

为了保证t(x) well-fromed，即：

t = t₀ +t₁x + t₂x²

需要校验：

=> g^th^τx =? V^{z^2} * g^δ*T₁^x *T₂^{x^2}

=> g^th^τx =? (h^rg^v)^{z^2} *g^δ *(g^t1)^x*(h^τ1)^x*(g^t2)^{x^2}*(h^τ2)^{x^2}

=> g^th^τx =? h^{z^2*r + τ1*x + τ2*x^2} * g^{z^2*v + δ + t1*x + t2*x^2}

=> g^th^τx =? h^{z^2*r + τ1*x + τ2*x^2} * g^{t0 + t1*x + t2*x^2}

=> t = ? t₀ + t₁*x + t₂*x² && τ_x = ? z²*r + τ₁*x + τ₂*x²

=> 当且仅当t和τ_x welle-formed，等式成立

具体的协议流程图如下图所示：

总结

从上述流程可以看出，一次range proof，证明者需要发送总共{ l / r / t / τ _x / μ / T₁ / T₂/ A / S}个元素给验证者，总共2n+3个Z _p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))

附录

1. Bulletproofs 论文： chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf